Théorème de la médiane

Théorème

Dans un triangle \(\text A\text B\text C\) quelconque, on appelle \(\text I\) le milieu du segment \([\text B\text C]\) . 

On a \(\text A\text B^2+\text A\text C^2=2\text A\text I^2+\dfrac{\text B\text C^2}{2}\) .

Démonstration

On développe \(\text A\text B^2+\text A\text C^2=(\vec{\text A\text I}+\vec{\text I\text B})^2+(\vec{\text A\text I}+{\text I\text C})^2\)
\(\text A\text B^2+\text A\text C^2=\text A\text I^2+2 \vec{\text A\text I}\cdot \vec{\text I\text B}+\text I\text B^2+\text A\text I^2+2\vec{\text A\text I}\cdot \vec{\text I\text C}+\text I\text C^2\)
On utilise la bilinéarité du produit scalaire pour écrire \(\text A\text B^2+\text A\text C^2=2\text A\text I^2+2 \vec{\text A\text I}\cdot (\vec{\text I\text B}+\vec{\text I\text C})+\text I\text B^2+\text I\text C^2\)
\(\text I\) étant le milieu de  \([\text B\text C]\) , on a  \(\vec{\text I\text B}=\vec{\text C\text I}\) soit \(\vec{\text I\text B}+\vec{\text I\text C}=\vec{0}\) . D'autre part,  \(\text I\text B=\text I\text C=\dfrac{\text B\text C}{2}\) . On obtient ainsi  \(\text A\text B^2+\text A\text C^2=2\text A\text I^2+2 \Big(\dfrac{\text B\text C}{2}\Big)^2\) d'où le résultat.

Exemple

Dans le triangle \(\text A\text B\text C\) , le côté \(\text A\text C\) mesure \(4\) , le côté \(\text A\text B\) mesure \(7\) . La médiane issue de \(\text B\) mesure \(6\) et coupe \([\text A\text C]\) dans son milieu \(\text I\) . Le théorème de la médiane nous permet de déterminer la longueur du côté \([\text C\text B]\) . À partir de la relation  \(\text C\text B^2+\text A\text B^2=2\text B\text I^2+\dfrac{\text A\text C^2}{2}\) , on déduit \(\text C\text B^2=2\times 36 + \dfrac{16}{2}-49=31\) soit \(\text C\text B=\sqrt{31}\) .